1 前 言 在產品設計初期，如何方便快捷地獲得坯料較為準確的形狀尺寸，估計工件的應力應變及厚度分布,預測板金的成形性能，已經愈來愈受到人們的關注。借助這些信息，設計人員可以對工件的形狀尺寸、工藝條件等進行規劃，使得坯料的變形較為均勻，減少凸耳及切余量，以期達到良好的成形性能及品質要求。目前已經涌現許多方法，但是其中各有優缺點。本文首先介紹了其中的主要方法，然后引出目前較為有效的優化方法，并作了驗證。 2 常用的優化設計方法 2.1 經驗方法 該方法主要基于一些經驗計算公式，所以其應用范圍受到影響，主要應用于形狀比較簡單的可展沖壓件（如旋轉形件、彎曲件、或由這些簡單形件組合而成的沖壓件）。總的來說，由經驗展開板類件自由曲面的方法都是屬于湊合性質的方法，其精度受到使用者經驗的豐富程度、所采用的經驗公式及具體工藝參數的選擇等諸多因數的影響，其準確度有待進一步提高。 2.2 滑移線法[1-3] 滑移線法的基本假設為：板料法蘭厚度不變，且處于平面應變狀態，材料各向同性，無硬化，不考慮摩擦力分布對塑性流動的影響。 從對滑移線法的敘述表明，只有形狀相對簡單的沖壓件才能建立相應的滑移線場。并且只有在特別簡單的邊界條件下才能從特征方求解中給出滑移線的數學表達式。一般情況下，需利用特征方程的數值積分，根據給定的邊界條件，逐點遞推，求得近似滑移線場，這種方法是以變換特征線微分方程為有限差分關系式，并利用滑移線的特征作為基礎的。因此滑移線法由于數學運算比較復雜而較難在實際生產中推廣應用。 2.3 幾何映射法 該方法首先由R.Sowerby[4]等提出，他們認為，可以不考慮變形力、應力-應變關系及邊界摩擦等邊界條件，根據某些假設實現工件到坯料的映射。首先將木制模型進行網格劃分，利用坐標測量儀獲取節點的位置坐標。或者由CAD模型在計算機中直接劃分網格。假設工件在成形過程中厚度不變，變形前后網格的面積恒定，將三維空間網格向二維平面進行映射，由此可以推知初始坯料形狀和工件的應力分布。后來J.C. Gerdeen和P.Chen[5]對其進行了進一步研究，將有限元思想引入幾何映射，對每個單元實現映射，并開發了兩套程序AXIFORMH和FEPFORM分別用來處理軸對稱和非對稱情況。 在國內北京航天航空大學的席平教授對此進行了較深入的研究，她把板材自由曲面離散成一系列的直紋面[6,7]，對每一直紋面進行了三角形離散，然后確定一基準面對每一空間三角形進行展開。其展開精度與直紋面、三角形離散精度有關，因此確定合理的離散精度直接影響到計算機的計算速度及展開精度。 2.4 模擬法 模擬法是在一定的假設條件下，根據許多物理問題數學描述的相似性，通過數學相似理論，采用其它物理介質構成的模型來模擬板料法蘭的金屬流動。Laplace和Poission方程被廣泛用于板料的成形當中。 粱炳文等[8] 的電模擬法，利用電解液槽裝置，測量等勢線，可得到一定深度的拉深件的毛坯外形，進行測量的工作時間在10min內。此方法需要設計電解液裝置及數據測量，因而其精度受到人為因數的影響。 另外一種是流體模擬法，它通過簡單的流體模擬試驗和計算機輔助模擬，來求解多種不規則形狀拉深件的合理毛坯形狀。粱炳文等[9]根據虛點匯流動模型，實現了一種計算機輔助模擬，用理想流體的點匯場模擬尋求虛點匯場的解，使用微機自動繪制了不同形狀、不同高度的拉深件合理毛坯外形，并以半圓頭矩形件為例做了實驗驗證。流體模擬法對模擬介質的要求很嚴格，它要求介質連續均勻，各向同性，易于流動且粘度大于某一定值。 粱炳文等[10-12]用二維無內熱源穩態熱傳導來進行模擬，建立了相對于凸緣應力場的溫度場模擬模型。并根據熱傳導模擬模型編制的FEMBLC程序，可不必象一般求板材自由曲面沖壓件的毛坯尺寸一樣，先設一個外形線上的點。它可由計算機根據所輸入的沖壓件的幾何尺寸，可以自動按所定的精度要求，繪制出合理的毛坯外形。 2.5 速度場分析法 最近由Kichan Son[13]等根據工件在變形過程中邊界點的初始速度場來優化坯料設計。變形過程中邊界點由初始位置向最終成形方向進行移動。各節點的運動非線性，并且方向時刻在改變。顯然，如果各個節點的最終位置都位于目標輪廓上，則該次設計的坯料最優。因此該方法優化設計坯料的原理是：調節坯料邊界各節點的位置，使之在變形之后處于設定的邊界線上。 該方法在設計的每個階段只需要進行一次變形分析，利用有限元分析的結果來獲取每個節點初始速度與各自變形路徑長度的比值及形狀誤差的大小。因此該方法相對計算較少，效率較高。 3 一步模擬算法[14-18] 一步模擬算法是20世紀90年代左右創立的一種坯料優化設計方法，目前已經有許多商業化軟件問世。該方法只考慮最終工件的形狀，已知參數為工件的輪廓、原始坯料的厚度，未知參數有坯料的形狀及工件的厚度。這些參數可由最小化塑性變形功來求得。為了忽略不同變形路徑的影響，作了一系列的假設，其中主要的兩個方面是：按比例加載；忽略模具和板料的接觸邊界條件，而改用簡化的摩擦邊界條件。 3.1 本構關系方程 將變形終了工件用有限單元進行剖分，由于橫向剪切變形比厚向彎曲變形要小得多，忽略薄板橫向剪切作用，單元塑性變形功可以表示為： （1） 其中包括膜應變和彎曲應變兩部分[19]。 形變梯度定義為。由此，可得左柯西-格林張量： （2） 有= （3） 式中，…；，，為在局部坐標中三結點坐標；是三角形單元的面積。 定義如下： （4） 獲取后，可以求得、和方向變換矩陣，并由材料的非可壓縮性，求得厚向伸長。 根據Hill的各向異性屈服準則及Hencky的變形理論，本構方程可表示為： (5) ,, 可推知對數應變： (6) 其中,可由左Cauchy-Green變形張量表示，是與最終工件的局部坐標系軸的夾角。 3.2 邊界條件 板料在實際沖壓過程當中其邊界條件是時刻在改變的，由于只考慮變形的初始和終了狀態，這種假設使得我們可以將壓邊力和拉延筋阻力作為恒定的外部載荷來考慮。 根據Chung和Swift的實驗研究［20］，大多數情況下壓邊力集中作用在法蘭的外邊界處。所以，可以由板料最外邊界的節點計算壓邊力做作的摩擦功。 (7) 式中，是轉換到坯料最外邊界節點上的壓邊力；是節點的切線位移；為摩擦系數。 同理，將拉延筋力轉為集中作用在坯料外邊界的節點力，則拉延筋所作的功為： (8) 其中，可由實驗或者數值計算得到。 3.3 對塑性變形功求極值 為了求整體塑性功的極小值，并且考慮壓邊力、拉延筋等邊界條件，令： (9) 求的最小值，且令 (10) 用Newton-Raphson 方法解非線性方程組（1），即得： (11) (12) 其中是減速因子,取值為0到1。 3.4 一步模擬的實例：盒形件拉深 [21] 圖1模具尺寸圖示 Fig.1 Tooling geometry for the deep drawing of square cup. 盒形件及模具尺寸如圖1所示。材料的性能指數及工藝參數為：應力應變關系曲線為 （MPa）；厚向異性參數；板料厚度（mm）；摩擦系數。圖2表示的是用三角形單元離散化后的工件。 利用一步模擬算法，在微機（Windows2000, CPU Intel P4/2GHz）上計算僅需要2min，計算效率大大高于增量法有限元。可以快速獲取優化板料形狀（圖3所示），并且可以預測最終工件的厚向應力應變分布。由圖 4可知，利用該優化的坯料，可以獲得較好的拉深成形性能。 圖2 經三角形單元離散化后的工件 圖3 利用一步模擬算法獲得的板坯形狀 Fig.2 Workpiece discretized with triangular element. Fig. 3 Blank shape of the square cup using one step simulation. 圖4 利用一步模擬法計算的坯料獲得的FLD Fig. 4 FLD with the obtained blank shape. (a) (b) 圖5離中心不同遠處的厚度分布圖：(a) 截面方向；(b) 對角方向 Fig.5 Thickness distribution along different direction: (a) traverse; (b) diagonal 圖5顯示了距離盒形件中心不同方向、不同距離處的厚度分布。在盒形件法蘭處板厚增至最大值0.77mm；圓角附近板厚則降為最小值0.62mm。在實際加工過程，工件法蘭處容易出現褶皺缺陷，底部圓角處較易出現拉裂失穩。該結果與實際的成形情況相吻合。一步模擬方法具有較高的運算速度，盡管作了一些假設，但是其運算精度仍然可以達到工程要求（坯料設計的形狀誤差不會超過3％，厚向誤差不會超過5％[22]），在交互式產品設計當中，尤其是產品設計的初始階段，是一種非常有效的工具。 4 結論 本文對沖壓件坯料的優化設計方法進行了研究，總結了一些常用方法如經驗法、滑移線法、幾何映射法、模擬法、速度場分析法等的優缺點。這些方法由于其局限性，沒有很好的推廣應用。最后引出目前較為有效的一步模擬方法，并對其機理作了較為詳細的論述。通過實例可以證明，一步模擬方法能夠較好的滿足設計的需要，是一種較有前途的坯料優化設計方法。
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（1） 其中
包括膜應變
和彎曲應變
兩部分[19]。 形變梯度定義為
。由此，可得左柯西-格林張量： 
（2） 有
=
（3） 式中
，…；
，
，
為在局部坐標中三結點坐標；
是三角形單元的面積。 
定義如下： 
（4） 獲取
后，可以求得
、
和方向變換矩陣
，并由材料的非可壓縮性，求得厚向伸長
。 根據Hill的各向異性屈服準則及Hencky的變形理論，本構方程可表示為： 
(5) 
,
,
可推知對數應變
： 
(6) 其中
,
可由左Cauchy-Green變形張量表示，
是
與最終工件的局部坐標系
軸的夾角。 3.2 邊界條件 板料在實際沖壓過程當中其邊界條件是時刻在改變的，由于只考慮變形的初始和終了狀態，這種假設使得我們可以將壓邊力和拉延筋阻力作為恒定的外部載荷來考慮。 根據Chung和Swift的實驗研究［20］，大多數情況下壓邊力集中作用在法蘭的外邊界處。所以，可以由板料最外邊界的節點計算壓邊力做作的摩擦功。 
(7) 式中，
是轉換到坯料最外邊界節點上的壓邊力；
是節點的切線位移；
為摩擦系數。 同理，將拉延筋力轉為集中作用在坯料外邊界的節點力，則拉延筋所作的功為： 
(8) 其中，
可由實驗或者數值計算得到。 3.3 對塑性變形功求極值 為了求整體塑性功的極小值，并且考慮壓邊力、拉延筋等邊界條件，令： 
(9) 求
的最小值，且令 
(10) 用Newton-Raphson 方法解非線性方程組（1），即
得： 
(11) 
(12) 其中
是減速因子,取值為0到1。 3.4 一步模擬的實例：盒形件拉深 [21] 
圖1模具尺寸圖示 Fig.1 Tooling geometry for the deep drawing of square cup. 盒形件及模具尺寸如圖1所示。材料的性能指數及工藝參數為：應力應變關系曲線為 
（MPa）；厚向異性參數
；板料厚度
（mm）；摩擦系數
。圖2表示的是用三角形單元離散化后的工件。 利用一步模擬算法，在微機（Windows2000, CPU Intel P4/2GHz）上計算僅需要2min，計算效率大大高于增量法有限元。可以快速獲取優化板料形狀（圖3所示），并且可以預測最終工件的厚向應力應變分布。由圖 4可知，利用該優化的坯料，可以獲得較好的拉深成形性能。 
圖2 經三角形單元離散化后的工件 圖3 利用一步模擬算法獲得的板坯形狀 Fig.2 Workpiece discretized with triangular element. Fig. 3 Blank shape of the square cup using one step simulation. 
圖4 利用一步模擬法計算的坯料獲得的FLD Fig. 4 FLD with the obtained blank shape. 
(a) (b) 圖5離中心不同遠處的厚度分布圖：(a) 截面方向；(b) 對角方向 Fig.5 Thickness distribution along different direction: (a) traverse; (b) diagonal 圖5顯示了距離盒形件中心不同方向、不同距離處的厚度分布。在盒形件法蘭處板厚增至最大值0.77mm；圓角附近板厚則降為最小值0.62mm。在實際加工過程，工件法蘭處容易出現褶皺缺陷，底部圓角處較易出現拉裂失穩。該結果與實際的成形情況相吻合。一步模擬方法具有較高的運算速度，盡管作了一些假設，但是其運算精度仍然可以達到工程要求（坯料設計的形狀誤差不會超過3％，厚向誤差不會超過5％[22]），在交互式產品設計當中，尤其是產品設計的初始階段，是一種非常有效的工具。